Para fixar de vez a lógica digital por trás dos circuitos somadores e subtratores
Para fixar de vez a lógica digital por trás dos circuitos somadores e subtratores, preparamos uma maratona com 20 exercícios práticos resolvidos passo a passo. Domine o comportamento dos bits de transporte (Carry) e empréstimo (Borrow) agora mesmo!
Parte 1: Conversões de Base para Aquecimento (Exercícios 1 a 5)
Antes de operar os circuitos, precisamos alinhar os valores binários com a nossa percepção decimal.
Exercício 1: Decimal para Binário Simples
Converter o número decimal 5 para binário.
Passo a passo: Divisões sucessivas por 2:
• 5 ÷ 2 = 2 (resto 1) → Bit menos significativo (LSB)
• 2 ÷ 2 = 1 (resto 0)
• 1 ÷ 2 = 0 (resto 1) → Bit mais significativo (MSB)
Lendo os restos de baixo para cima: 101.
• 5 ÷ 2 = 2 (resto 1) → Bit menos significativo (LSB)
• 2 ÷ 2 = 1 (resto 0)
• 1 ÷ 2 = 0 (resto 1) → Bit mais significativo (MSB)
Lendo os restos de baixo para cima: 101.
Resultado: 510 = 1012
Exercício 2: Decimal para Binário de 4 Bits
Converter o número decimal 12 para binário.
Passo a passo:
• 12 ÷ 2 = 6 (resto 0)
• 6 ÷ 2 = 3 (resto 0)
• 3 ÷ 2 = 1 (resto 1)
• 1 ÷ 2 = 0 (resto 1)
Lendo de baixo para cima: 1100.
• 12 ÷ 2 = 6 (resto 0)
• 6 ÷ 2 = 3 (resto 0)
• 3 ÷ 2 = 1 (resto 1)
• 1 ÷ 2 = 0 (resto 1)
Lendo de baixo para cima: 1100.
Resultado: 1210 = 11002
Exercício 3: Binário para Decimal
Converter o binário 1010 para decimal.
Passo a passo: Aplicando os pesos das potências de 2 (8, 4, 2, 1):
• (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (0 × 20)
• 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
• (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (0 × 20)
• 8 + 0 + 2 + 0 = 10.
Resultado: 10102 = 1010
Exercício 4: Caso Crítico de Conversão
Converter o binário 1111 para decimal.
Passo a passo: Somando todos os pesos de um nibble (4 bits) cheio:
• 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
• 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
Resultado: 11112 = 1510
Exercício 5: Conversão de Número do Painel do Carro
O sensor mediu o valor estável 7 em decimal. Qual o valor binário processado pelo somador?
Passo a passo:
• 7 ÷ 2 = 3 (resto 1) | • 3 ÷ 2 = 1 (resto 1) | • 1 ÷ 2 = 0 (resto 1).
Juntando os restos: 111.
• 7 ÷ 2 = 3 (resto 1) | • 3 ÷ 2 = 1 (resto 1) | • 1 ÷ 2 = 0 (resto 1).
Juntando os restos: 111.
Resultado: 710 = 1112
Parte 2: Somas Binárias e o Efeito Carry (Exercícios 6 a 12)
Aqui simulamos a atuação dos circuitos Meio Somador (XOR/AND) e Somador Completo (5 portas).
Exercício 6: Atuação do Meio Somador (Sem Transporte)
Somar 102 + 012 (2 + 1 em decimal).
| 1 | 0 | |
| + | 0 | 1 |
| 1 | 1 |
Cálculo:
• Coluna 1 (LSB): 0 + 1 = 1 (Porta XOR=1, Porta AND [Carry]=0)
• Coluna 2: 1 + 0 = 1.
Convertendo o resultado 112 para decimal temos 3. Bate perfeitamente (2 + 1 = 3).
• Coluna 1 (LSB): 0 + 1 = 1 (Porta XOR=1, Porta AND [Carry]=0)
• Coluna 2: 1 + 0 = 1.
Convertendo o resultado 112 para decimal temos 3. Bate perfeitamente (2 + 1 = 3).
Resultado: 112 (Decimal: 3)
Exercício 7: O Caso Crítico do Meio Somador
Somar 012 + 012 (1 + 1 em decimal).
| 1 | |
| 0 | 1 |
| + 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Cálculo:
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 e gera Carry = 1 (A porta XOR dá 0 e a AND gera o transporte).
• Coluna 2: Recebe o Carry. 0 + 0 + 1 = 1.
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 e gera Carry = 1 (A porta XOR dá 0 e a AND gera o transporte).
• Coluna 2: Recebe o Carry. 0 + 0 + 1 = 1.
Resultado: 102 (Decimal: 2)
Exercício 8: Somador Completo em Ação (3 Bits ativos)
Somar 112 + 012 (3 + 1 em decimal).
| 1 | 1 | |
| 1 | 1 | |
| + | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Cálculo:
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 (Vai 1 para a coluna 2).
• Coluna 2: Aqui entra o Somador Completo (5 portas): temos o bit 1, o bit 0 e o Carry 1. Soma parcial: 1 + 0 = 1. Segunda porta XOR: 1 + Carry(1) = 0. O circuito gera um novo Carry Out = 1.
• Coluna 3: Baixa o Carry de transporte.
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 (Vai 1 para a coluna 2).
• Coluna 2: Aqui entra o Somador Completo (5 portas): temos o bit 1, o bit 0 e o Carry 1. Soma parcial: 1 + 0 = 1. Segunda porta XOR: 1 + Carry(1) = 0. O circuito gera um novo Carry Out = 1.
• Coluna 3: Baixa o Carry de transporte.
Resultado: 1002 (Decimal: 4)
Exercício 9: Soma Extensa (Estilo Filtro de Média Móvel)
Somar 1012 + 1102 (5 + 6 em decimal).
| 1 | |||
| 1 | 0 | 1 | |
| + | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
Cálculo:
• Coluna 1: 1 + 0 = 1.
• Coluna 2: 0 + 1 = 1.
• Coluna 3: 1 + 1 = 0 (Gera Carry = 1 para a próxima coluna).
• Coluna 1: 1 + 0 = 1.
• Coluna 2: 0 + 1 = 1.
• Coluna 3: 1 + 1 = 0 (Gera Carry = 1 para a próxima coluna).
Resultado: 10112 (Decimal: 11)
Exercício 10: Saturação total de Carry
Somar 1112 + 1112 (7 + 7 em decimal).
| 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| + | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Cálculo:
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 (Vai 1).
• Coluna 2: 1 + 1 + Carry(1) = 1 (Vai 1).
• Coluna 3: 1 + 1 + Carry(1) = 1 (Vai 1).
• Coluna 1: 1 + 1 = 0 (Vai 1).
• Coluna 2: 1 + 1 + Carry(1) = 1 (Vai 1).
• Coluna 3: 1 + 1 + Carry(1) = 1 (Vai 1).
Resultado: 11102 (Decimal: 14)
Exercício 11: Soma com Zeros Intermediários
Somar 10102 + 01012 (10 + 5 em decimal).
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| + 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Cálculo: Nenhuma coluna gera transporte (Carry = 0) porque nunca ocorrem dois bits '1' simultâneos na mesma linha vertical.
Resultado: 11112 (Decimal: 15)
Exercício 12: Soma de 5 Bits
Somar 100012 + 011112 (17 + 15 em decimal).
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| + 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Cálculo: O efeito dominó do Carry limpa as colunas do meio para zero, acumulando o bit na extremidade esquerda.
Resultado: 1000002 (Decimal: 32)
Parte 3: Subtrações Binárias e o Efeito Borrow (Exercícios 13 a 20)
Foco total no entendimento do "pede emprestado" com peso igual a 2.
Exercício 13: Subtração Direta (Sem Empréstimo)
Subtrair 112 - 012 (3 - 1 em decimal).
| 1 | 1 |
| - 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Cálculo:
• Coluna 1: 1 - 1 = 0.
• Coluna 2: 1 - 0 = 1.
• Coluna 1: 1 - 1 = 0.
• Coluna 2: 1 - 0 = 1.
Resultado: 102 (Decimal: 2)
Exercício 14: O Primeiro Empréstimo (Gatilho Base 2)
Subtrair 102 - 012 (2 - 1 em decimal).
| 0 | 2 |
| 1 | 0 |
| - 0 | 1 |
| 0 | 1 |
Cálculo:
• Coluna 1: 0 - 1 não dá. Pede para a Coluna 2. O bit 1 da esquerda vira 0 e a coluna 1 ganha peso 2.
• Operação corrigida: 2 - 1 = 1.
• Coluna 2: Restou 0. 0 - 0 = 0.
• Coluna 1: 0 - 1 não dá. Pede para a Coluna 2. O bit 1 da esquerda vira 0 e a coluna 1 ganha peso 2.
• Operação corrigida: 2 - 1 = 1.
• Coluna 2: Restou 0. 0 - 0 = 0.
Resultado: 012 (Decimal: 1)
Exercício 15: Subtração de 3 Bits com Empréstimo
Subtrair 1102 - 0112 (6 - 3 em decimal).
| 0 | 2 | |
| 1 | 1 | 0 |
| - 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
Cálculo:
• Coluna 1: 0 - 1 pede emprestado. Vira 2 → 2 - 1 = 1.
• Coluna 2: Ficou valendo 0. 0 - 1 pede para a coluna 3. Vira 2 → 2 - 1 = 1.
• Coluna 3: Ficou valendo 0. 0 - 0 = 0.
• Coluna 1: 0 - 1 pede emprestado. Vira 2 → 2 - 1 = 1.
• Coluna 2: Ficou valendo 0. 0 - 1 pede para a coluna 3. Vira 2 → 2 - 1 = 1.
• Coluna 3: Ficou valendo 0. 0 - 0 = 0.
Resultado: 0112 (Decimal: 3)
Exercício 16: Análise do Slide do Vídeo
Resolver: 111002 - 010102 (28 - 10 em decimal).
| 1 | 0 | 2 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| - 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Cálculo igual ao slide: A coluna 2 pede emprestado para a coluna 3 (o 1 vira 0 e envia o peso 2). Efetuamos 2 - 1 = 1. As colunas restantes operam as diferenças remanescentes de forma direta.
Resultado: 100102 (Decimal: 18)
Exercício 17: O Empréstimo em Cadeia Vazia (Desafio)
Subtrair 1002 - 0012 (4 - 1 em decimal).
Passo a passo do fluxo:
• Coluna 1 tenta pedir para a Coluna 2, que está zerada. A Coluna 2 precisa pedir primeiro para a Coluna 3.
• O '1' da coluna 3 vira 0 e passa peso 2 para a coluna 2.
• Agora a coluna 2 (que vale 2) empresta 1 para a coluna 1. Logo, a coluna 2 passa a valer 1 e a coluna 1 vira 2.
• Resolvendo: Coluna 1: 2 - 1 = 1 | Coluna 2: 1 - 0 = 1 | Coluna 3: 0 - 0 = 0.
• Coluna 1 tenta pedir para a Coluna 2, que está zerada. A Coluna 2 precisa pedir primeiro para a Coluna 3.
• O '1' da coluna 3 vira 0 e passa peso 2 para a coluna 2.
• Agora a coluna 2 (que vale 2) empresta 1 para a coluna 1. Logo, a coluna 2 passa a valer 1 e a coluna 1 vira 2.
• Resolvendo: Coluna 1: 2 - 1 = 1 | Coluna 2: 1 - 0 = 1 | Coluna 3: 0 - 0 = 0.
Resultado: 0112 (Decimal: 3)
Exercício 18: Subtração com Zeros Consecutivos Extensos
Subtrair 10002 - 00112 (8 - 3 em decimal).
Cálculo: O empréstimo se propaga desde o bit de peso 8. Os zeros intermediários transformam-se em bits de valor '1' após repassarem o empréstimo à direita, enquanto o LSB assume valor 2. Diferença final calculada coluna por coluna resulta em 5.
Resultado: 01012 (Decimal: 5)
Exercício 19: Operação de Limpagem de Bits
Subtrair 111112 - 111102 (31 - 30 em decimal).
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| - 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Cálculo: Todos os bits se anulam perfeitamente exceto a última linha da direita. 1 - 0 = 1.
Resultado: 000012 (Decimal: 1)
Exercício 20: Subtração de Extrema Amplitude
Subtrair 1010102 - 0101012 (42 - 21 em decimal).
Cálculo: Uma sequência alternada onde cada coluna de índice ímpar é forçada a solicitar empréstimo à coluna vizinha par. O balanceamento resulta na metade exata do valor original.
Resultado: 0101012 (Decimal: 21)
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